論文解説: Fast constant-time gcd computation and modular inversion

Fast constant-time gcd computation and modular inversion お知らせ
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本稿ではこの論文を扱います。
https://gcd.cr.yp.to/safegcd-20190413.pdf

この記事で紹介する内容

電力解析などのサイドチャネル攻撃に対する防衛策として、入力の値にかかわらず一定の時間(constant-time)でGCDを計算する需要がある。ここでいうconstant-timeは入力長nに対してO(1)で実行できるという意味ではない。既存の一定時間での計算アルゴリズムも存在するが、GCDをより高速に計算するアルゴリズムを示す。

GCDを計算するアルゴリズム

基本的にユークリッドのGCDアルゴリズムを用いており、1980年代にBojanczyk, Brent, Kungによって開発されたGCDアルゴリズムと似ている。

特徴として

  • ケースの区別が少ない
  • データフローは「条件付きスワップ」と「消去」の二つに分解でき簡単である
  • 反復回数がより少ない
  • ステップをジャンプすることができる

があげられる。

GCDの高速計算化

この論文においてはGCDの計算を高速化する手段として「除算ステップ(division steps)」が提案されている。
この除算ステップを一定回数反復すると、入力の gcd や、入力が互いに素の場合のモジュラーなどが明らかになる。
この除算ステップのアルゴリズムをdivstep関数とする。

divstep関数のアルゴリズムは以下の通り:
file

またその定義は以下のようになる:
file

divstep関数は二つのステップに分けられ

  1. δ > 0またはg(0) ≠ 0のとき(δ, f, g )(−δ, g, f )に置き換える条件付きスワップ
  2. (δ, f, g )(1 + δ, f , (f(0)g − g(0)f)/x )に置き換える消去法

の繰り返しである。

除算ステップの反復計算の高速化

(δ_{n}, f_{n}, g_{n}) = divstepn (δ, f, g)までの反復計算の高速化を目指す。

まずdivstepの反復処理を次から次へと計算するアルゴリズムは以下の通り:
file

これを高速化する手段として以下の二つがある。

  • 定時間計算
  • 除算ステップのジャンプ

定時間計算

一定時間のビット演算に置き換える。これにより入力のさまざまな表現に対して、これらの計算の正確なコストを最小化する。

  • の符号ビットとし、δ≧0の場合は0を、-δ<0の場合は1を意味する
  • zg(0)のノンゼロビットとし、g(0) = 0の場合は 0 を、g(0)≠0 の場合は 1 を意味する
  • 1 + (1 − 2sz)δを計算し、出力する
  • f ⊕ sz(f ⊕ g)を計算し、出力する。sz = 0 の場合は f、sz = 1 の場合は g を得る
  • (1 - 2sz)(f(0)g - g(0)f)/xを計算し、出力する。または単純に (f(0)g-g(0)f)/x を計算し、出力する

除算ステップのジャンプ

  • n ≤ 1 の場合止める
  • j ∈ {1, 2, . . . , n − 1}を選ぶ
  • jステップ移行行列T_{j−1} · · · T_{0}を用いてδ, f, gからδ_{j} , f_{j} , g_{j}へとjステップジャンプする
  • 同様に、δ_{j} , f_{j} , g_{j} からδ_{n} , f_{n} , g_{n}へと、別の n - j ステップジャンプする

具体的にアルゴリズムは以下の通り:
file

性能

係数が2^{255}–19での最新の速度記録はCPUコアがHaswell、Skylake、Kaby Lake でそれぞれ 11854 サイクル、9301 サイクル、8971 サイクルであったがこのアルゴリズムを用いることで10050サイクル、8778サイクル、8543サイクルと速度が向上した。

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